초등학생을 위한 머리셈 비법 2편 – 배수·제곱·1초 곱셈 (7~12교시)

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📚 가우스가 만든 머리셈 – 파트 2 (7교시 ~ 12교시)
파트 1 (1교시~6교시)을 아직 못 읽었다면 먼저 읽어 보세요! 파트 1에서는 무지개 덧셈, 교환법칙, 보수, 곱셈 단짝, 분수 변환, 분배법칙을 배웠어요.
7교시

도미노처럼 사라지는 분수의 합

1/(2×3) 처럼 생긴 분수는 두 개의 분수로 쪼갤 수 있어요. 이렇게 쪼개서 쭉 더하면 중간 숫자들이 마치 도미노처럼 하나씩 사라지고, 맨 처음과 맨 끝 숫자만 남는답니다!

쪼개기 공식
1/(n × (n+1)) = 1/n − 1/(n+1) 예: 1/(2×3) = 1/2 − 1/3
📝 예제: 1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) + 1/(4×5)
① 각각 쪼개면: (1/1−1/2) + (1/2−1/3) + (1/3−1/4) + (1/4−1/5)
② 중간이 모두 사라져요! 1/2, −1/2 / 1/3, −1/3 / 1/4, −1/4 = 전부 0
③ 남은 것: 1/1 − 1/5
= 4/5 ✅
고대 이집트인들은 분자가 1인 ‘단위분수(Unit Fraction)’만 사용했어요. 예를 들어 3/4를 쓸 때 그냥 3/4라 쓰지 않고 1/2 + 1/4 처럼 나눠서 표현했답니다. 복잡한 분수도 쪼개서 생각했던 이집트인들의 습관이 바로 오늘날 머리셈의 시작이었을지 몰라요!
분수의 합에서 분모가 연속된 수의 곱으로 이루어진 경우, 반드시 도미노 공식을 시도해 보세요. 항의 개수가 많을수록 더 효과적이에요!
1/(n × (n+1)) = 1/n − 1/(n+1) (쪼개기 공식)
쪼개서 쭉 더하면 중간 항들이 도미노처럼 사라진다!
맨 처음 분수의 앞 항 − 맨 마지막 분수의 뒷 항만 남는다
8교시

4와 8의 배수 판별법

숫자가 아무리 길어도 뒤 두세 자리만 보면 4의 배수인지 8의 배수인지 바로 알 수 있어요! 앞자리는 전혀 볼 필요가 없답니다.

4
맨 뒤 두 자리가
4로 나누어떨어지면 OK!
예: 312 → 12 ÷ 4 = 3
✅ 312는 4의 배수

예: 114 → 14 ÷ 4 = 3.5
❌ 114는 4의 배수 아님
8
맨 뒤 세 자리가
8로 나누어떨어지면 OK!
예: 7016 → 16 ÷ 8 = 2
    → 016 ÷ 8 = 2
✅ 7016은 8의 배수

예: 9110 → 110 ÷ 8 = 13.75
❌ 9110은 8의 배수 아님

숫자를 입력하면 4와 8의 배수인지 바로 확인!

옛날 사람들은 4계절, 4방향(동서남북)처럼 숫자 4가 세상을 안정되게 해준다고 믿었어요. 4의 배수는 세상의 기본 단위와 연결되어 있는 신비한 숫자랍니다. 숫자와 친해지면 역사와 문화도 함께 보인답니다!
4와 8은 2의 거듭제곱이에요 (4 = 2², 8 = 2³). 그래서 10의 거듭제곱(100 = 4×25, 1000 = 8×125)과 딱 맞아 떨어져 뒷자리만 보면 되는 거예요!
4의 배수 → 맨 뒤 두 자리가 4로 나누어떨어지면!
8의 배수 → 맨 뒤 세 자리가 8로 나누어떨어지면!
앞자리는 안 봐도 돼! 뒤만 확인하면 충분!
9교시

3과 9의 배수, 숫자를 다 더해봐!

가장 신기한 배수 규칙이에요! 숫자의 각 자리를 모두 더한 값이 3 또는 9의 배수이면, 원래 숫자도 3 또는 9의 배수예요. 아무리 큰 숫자라도 이 방법으로 바로 알 수 있답니다!

3
각 자리 숫자를 모두 더해서
그 합이 3의 배수이면!
예: 123 → 1+2+3 = 6
6 ÷ 3 = 2 ✅
∴ 123은 3의 배수
9
각 자리 숫자를 모두 더해서
그 합이 9의 배수이면!
예: 81 → 8+1 = 9
9 ÷ 9 = 1 ✅
∴ 81은 9의 배수
📝 큰 숫자 판별: 123456789가 9의 배수일까?
① 각 자리를 모두 더해요: 1+2+3+4+5+6+7+8+9
② = 45
③ 45 ÷ 9 = 5 → 나누어떨어져요!
∴ 123456789는 9의 배수! ✅
이 규칙이 가능한 이유는 10 = 9 + 1이기 때문이에요. 예를 들어 253 = 2×100 + 5×10 + 3 = 2×(99+1) + 5×(9+1) + 3 이고, 여기서 99와 9는 모두 9의 배수이므로 결국 2+5+3 = 각 자릿수의 합으로만 판별할 수 있는 거랍니다. 수학의 규칙은 이유가 있어요!
각 자리를 더한 값이 여전히 크다면, 그 값을 또 더해도 돼요! 예를 들어 999999 → 9+9+9+9+9+9 = 54 → 5+4 = 9 → 9의 배수!
3의 배수 → 각 자리 합이 3의 배수인지 확인!
9의 배수 → 각 자리 합이 9의 배수인지 확인!
123 → 1+2+3 = 6, 6은 3의 배수 → 123도 3의 배수!
10교시

소수 7과 11로 나누어떨어지는 수의 성질

7과 11은 소수(Prime Number)예요. 소수는 1과 자기 자신으로만 나누어떨어지는 특별한 숫자인데요, 이 숫자들에도 나누어떨어짐을 빠르게 확인하는 방법이 있어요!

11의 배수 판별법 (더 쉬운 것부터!)
홀수 자리의 합 − 짝수 자리의 합이 0 또는 11의 배수이면 OK!
예: 1639 → (1+3) − (6+9) = 4 − 15 = −11 → ✅ 11의 배수!
📝 11의 배수 판별: 2728이 11의 배수일까?
① 홀수 자리(1, 3번째): 2 + 2 = 4
② 짝수 자리(2, 4번째): 7 + 8 = 15
③ 차이: 4 − 15 = −11 (11의 배수!)
∴ 2728 = 11 × 248 ✅
소수는 수학에서 ‘원자’와 같은 존재예요. 모든 수는 소수들의 곱으로 나타낼 수 있거든요. 예를 들어 12 = 2 × 2 × 3 처럼요. 소수가 얼마나 많은지, 어떤 규칙이 있는지는 수천 년이 지난 지금도 수학자들이 연구 중인 가장 어려운 미스터리 중 하나예요!
7의 배수 판별법은 좀 복잡하지만 기본 방법은 이래요: 일의 자리 수를 2배 해서 나머지 수에서 빼고, 그 결과가 7의 배수이면 OK! (예: 161 → 16 − 1×2 = 14 = 7×2 ✅)
소수 = 1과 자기 자신으로만 나누어떨어지는 수
11의 배수 → 홀수 자리 합 − 짝수 자리 합이 0 또는 11의 배수
2728: (2+2)−(7+8) = 4−15 = −11 → 11의 배수!
11교시

제곱 공식으로 45×45 순식간에!

같은 수를 두 번 곱하는 것을 제곱이라고 해요. (a+b)² = a² + 2ab + b² 공식을 이용하면, 45×45 같은 제곱 계산을 아주 빠르게 할 수 있어요!

45 × 45 를 빠르게 계산하기

45 = 40 + 5 → a=40, b=5
a² = 40² = 1600    b² = 5² = 25
2ab = 2 × 40 × 5 = 400
1600 + 400 + 25
= 2025 🎉
(a+b)² 공식
(a + b)² = a² + 2ab + b² 45² = (40+5)² = 1600 + 400 + 25 = 2025
이 공식을 그림으로 이해할 수도 있어요. 한 변이 (a+b)인 정사각형을 4조각으로 나누면 a²짜리 큰 정사각형 1개, b²짜리 작은 정사각형 1개, a×b 직사각형 2개가 생겨요. 그게 바로 a² + 2ab + b²이랍니다! 공식도 눈으로 보면 쉬워져요.
끝자리가 5인 수의 제곱에는 더 빠른 공식도 있어요: 앞 자리 수 × (앞 자리 수 + 1) 뒤에 25를 붙이면 돼요! 45² = 4×5 = 20 → 2025. 35² = 3×4 = 12 → 1225!
(a+b)² = a² + 2ab + b² (제곱 공식)
45² = (40+5)² = 1600 + 400 + 25 = 2025
끝자리 5: 앞자리×(앞자리+1) 뒤에 25 붙이기!
12교시

십의 자리 같고 일의 자리 합이 10인 곱셈 1초 비법!

44 × 46, 37 × 33, 81 × 89 처럼 십의 자리가 같고 일의 자리를 더하면 10이 되는 곱셈에는 놀라운 1초 공식이 있어요!

1초 비법 공식
십의 자리를 a, 두 수의 일의 자리를 각각 b와 c(b+c=10)라 하면:
a × (a+1) | b × c
(| 는 두 값을 나란히 이어 붙이는 의미)

44 × 46 를 1초 만에!

44 × 46
십의 자리: 4 (같아요!)  |  일의 자리: 4 + 6 = 10 (합이 10!)
앞 부분
4 × (4+1) = 4 × 5 = 20
|
뒷 부분 (두 자리)
4 × 6 = 24
→ 2024 🎯
📝 더 연습해봐요!
① 37 × 33: 3×4 = 12 | 7×3 = 21 → 1221
② 81 × 89: 8×9 = 72 | 1×9 = 09 → 7209
③ 25 × 25: 2×3 = 6 | 5×5 = 25 → 625
※ 뒷 부분은 반드시 두 자리로! 한 자리면 앞에 0을 붙여요 (예: 09)
이 공식이 성립하는 이유는 (a×10 + b) × (a×10 + c)를 전개하면 a²×100 + a×10×(b+c) + b×c 가 되는데, b+c=10이므로 a×10×10 = a×100이 되어서 결국 a(a+1)×100 + b×c가 되기 때문이에요. 공식 뒤에는 항상 이런 수학적 원리가 숨어 있답니다!
뒷 부분(b×c)의 값이 한 자리로 나오면 앞에 0을 꼭 붙여서 두 자리로 만들어야 해요! 예: 1×9 = 9가 아니라 09로 써야 7209가 맞아요.
십의 자리 같고 일의 자리 합 10 → a×(a+1) | b×c
44 × 46: 4×5 = 20, 4×6 = 24 → 2024
뒷 부분이 한 자리면 앞에 0을 붙여 두 자리로!

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